P2467 [SDOI2010]地精部落

发表于

闲扯

又一次深深的感到了自己的弱小、可怜和无助。

题面

P2467 [SDOI2010]地精部落

Solution

首先明确几个性质：

  1. 第一个为山峰的波动数列的数量等于第一个为山谷的波动数列的数量。（我们将第一个为山峰的波动数列中的每一个数用 $n$ 减一下，一定是得到一个对应的第一个为山谷的波动数列）
  2. 对于不相邻的两个数 $i,i+1$ 交换它们的位置，得到的也一定是一个波动数列。（如果为山谷，则两边的都小于 $i$ ，如果为山峰，则两边的都大于 $i+1$ ，所以交换后不影响）

我们设 $dp_{i,j}$ 表示选择了 $1\sim i$ 这几个数，且第一个数为 $j$ 且为山峰的数量。

那么我们分两类讨论。

  1. 如果 $j,j-1$ 不相邻，那么我们可以得到的波动数列的数量为 $dp_{i,j-1}$ 。
  2. 如果 $j,j-1$ 相邻，那么我们能得到的波动数列的数量就是 $j-1$ 作为山谷且是第一个数的数量，这个是等价于 $dp_{i-1,i-j+1}$ 的（ $j-1$ 作为山谷，翻转一下，就等价于 $i-(j-1)$ 作为山峰）。

所以我们得到了转移方程 $dp_{i,j}=dp_{i,j-1}+dp_{i-1,i-j+1}$ 。

那么最后的答案就是 $\sum_{i=1}^n dp_{n,i}$ 。

Code

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res;
}
const int MAXN = 42e2+5;
int n,mod,dp[2][MAXN];
it add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n),read(mod);
	dp[0][2]=1;//第一个数是山峰，一定不为1
	for(ri i=3;i<=n;++i)
		for(ri j=2;j<=i;++j)
			dp[i&1][j]=add(dp[i&1][j-1],dp[(i&1)^1][i-j+1]);
	ri ans=0;
	for(ri i=2;i<=n;++i) ans=add(ans,dp[n&1][i]);
	print(ans*2%mod);
	return 0;
}